Le problème de l'harmonisation des notes

Neamar

Étudiant fraîchement émoulu, vous voilà placé face à la terrible réalité : vos notes ne sont pas vraiment vos notes ; elles sont élastiques et malléables, modifiables à volonté par le corps enseignant.
Le but avoué est d'harmoniser (le mot est lâché) les résultats, pour que toutes les classes aient la même moyenne, indépendamment du prof ou de l'interro.
Autrement dit, si votre prof note super large, vous allez voir votre note baisser ; mais si votre interro était infaisable, votre note montera de façon à ce que les deux classes soient comparables entre elles et qu'il n'y ait (en théorie) pas d'injustices.

Petite introduction à la magie qui permet de faire « ça »…

Caractériser l'échantillon

Avant toute chose, définissons deux grandeurs mathématiques qui nous serviront pour la suite : la moyenne et l'écart type.

La moyenne

Premier outil : la moyenne. Vous la connaissez a priori tous ; elle caractérise « moyennement » l'échantillon.

On la définit comme « la somme des éléments divisés par le nombre d'éléments » ; autrement dit m = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}.

Malheureusement, cette information ne caractérise pas assez bien un échantillon.
Par exemple, prenons trois classes différentes de trois élèves.

La moyenne de la première classe sera \frac{10 + 10 + 10}{3} = 10, celle de la seconde classe \frac{0 + 10 + 20}{3} = 10 et celle de la troisième \frac{9 + 10 + 11}{3} = 10. Hé oui, c'est la même moyenne alors que les notes sont radicalement différentes ! Il nous faut donc un indicateur complémentaire pour mesurer cette dispersion des données autour de la moyenne.

L'écart type

Dans les trois cas, la moyenne était pareil, mais la dispersion (l'étalement) des notes variait : nulle dans le premier cas, immense dans le deuxième et faible dans le troisième.
Afin de quantifier ces « écarts à la moyenne », on peut utiliser l'écart type pour mesurer la dispersion.
L'idée de la formule est de calculer la moyenne des écarts à la moyenne (relisez la phrase pour comprendre).
Sauf que ! Ce qui nous intéresse, ce n'est pas les écarts signés (avec le signe) : que l'on soit un point au-dessus ou un point au-dessous de la moyenne, la dispersion est la même (ce n'est pas 1 et -1, mais 1 et 1). Il faut donc prendre la valeur absolue : |x - m|.
On appelera cet indicateur l'écart type, noté \sigma (la lettre grecque sigma).
En pratique, l'opération valeur absolue n'est pas très facile à manipuler quand on fait des opérations dessus : on lui a donc préféré la formule suivante, plus complexe mais aussi plus fonctionnelle :

\sigma = \sqrt{\sum_{i=1}^n \frac{(x_i-m)^2}{n-1}}

Si on y réfléchit, l'idée est la même : on met au carré puis on applique la fonction racine carrée, partant du principe que \sqrt{x^2} = |x|. Attention cependant à ne pas distribuer la racine carrée dans la somme, c'est une erreur !

Reprenons nos exemples.
Dans le premier cas, on obtient \sigma = \sqrt{\frac{(10-10)^2 + (10-10)^2 + (10-10)^2}{2}} = 0 : logique, les données sont toutes identiques.
Dans le second cas, \sigma = \sqrt{\frac{(0-10)^2 + (10-10)^2 + (20-10)^2}{2}} = 10. L'écart type est très fort !
Dernier cas, \sigma = \sqrt{\frac{(9-10)^2 + (10-10)^2 + (11-10)^2}{2}} = 1.

Harmonisation des notes

Maintenant que nous sommes mathématiquement au point, voyons comment harmoniser nos notes.

Pourquoi ne pas harmoniser uniquement la moyenne ?

Le but de l'harmonisation va être de rendre similaire tous les échantillons : même moyenne et même écart type.
Si il ne fallait harmoniser que la moyenne, la transposition serait évidente : il suffirait d'ajouter à chaque note l'écart entre la moyenne obtenue et la moyenne voulue. Cependant, ce ne serait pas très juste… le meilleur serait proportionnellement lésé !
La preuve : prenons une classe qui a eu 8 de moyenne à une interrogation (écart type de 5) ; le moins bon a eu 1 et le meilleur 15. La moyenne voulue est 12, on ajoute donc 12 - 8 = 4 points à tout le monde. Le minorant a alors la note de 5, et la majorant 19. Ça vous paraît bien ? Pas moi ; le moins bon a multiplié sa note par 5, le meilleur par 1.2 ! Il y a clairement arnaque, et mieux vaut être dans les mauvais pour voir ses points apparaître avec cette méthode !

Voilà pourquoi on harmonise à la fois la moyenne, mais aussi l'écart type.

Le principe

Dans la suite de l'article, je noterai x la note de l'étudiant, m la moyenne originale, \sigma l'écart type original, x' la note harmonisée, m' la moyenne voulue, \sigma' l'écart type voulu.

Réfléchissons maintenant à la réalisation de notre calcul.
Intuitivement, on veut que :

Comment réaliser ça ? Tout d'abord, on veut travailler par rapport aux écarts à la moyenne (signés cette fois, on veut savoir si la note est bonne ou mauvaise), on aura donc x - m dans la formule. Ensuite, ce qui nous intéresse n'est pas la note absolue, mais la note relative à l'écart type – si elle est normale ou exceptionnelle –, on va donc diviser notre écart par l'écart type : \frac{x - m}{\sigma}. Une valeur de 0 indique une note moyenne, -1 une note « dans la moyenne basse » et 1 une note « dans la moyenne haute », et ainsi de suite.

La suite ? On veut conserver un rapport constant entre les deux échantillons (les bons restent bons, les mauvais restent mauvais : il serait tout à fait illogique que la note harmonisée d'un bon devienne moins bien que la note harmonisée d'un mauvais), il suffit donc d'indiquer l'égalité entre les deux expressions :

\frac{x - m}{\sigma} = \frac{x' - m'}{\sigma'}

On peut extraire x' de cette formule pour obtenir la relation qui nous intéresse : x' = \frac{\sigma'}{\sigma} (x - m) + m'.
Et voilà le travail !

Exemples

Pour ces exemples, on fixera la moyenne voulue m' à 12 et l'écart type \sigma' à 2 (valeurs les plus fréquemment utilisées).

Il est intéressant de noter que si la moyenne et l'écart type sont faibles – donc si la granularité des données, ou plus exactement la plage de valeurs couverte, est minime – alors des écarts faibles entre deux notes peuvent aboutir à des notes harmonisées très différentes. Il suffit de regarder les trois derniers exemples pour s'en convaincre : un petit point de différence original s'est traduit par quatre points de différence une fois harmonisé.
Conclusion ? Ne dénigrez pas le bla-bla et le bavardage dans vos copies : un demi point peut devenir votre meilleur ami !

Auteur
Neamar
Date
2010
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