Faisant suite au premier texte, ce récit reprend le même principe : 10 énigmes spéciales, qui représentent à elles seules la quintessence des problèmes de logique et de mathématique de base.
Encore une fois, un minimum de connaissance suffit... mais un maximum de jugeote est un plus non négligeable !

Lutin, une sinécure ?

Neamar

Quand 3 + 5 = 4

L'immense salle était taillée dans la roche ; ce qui avait dû demander un immense travail aux ouvriers de l'époque. Mais quand on est une civilisation entièrement renouvelée tous les trois ans, il est difficile de tenir des archives correctes – aussi personne ne savait plus de quand datait l'immense dôme et pour quelle raison il avait été excavé.

À l'intérieur de la salle régnait une agitation relativement inhabituelle en ces lieux habitués à un silence troglodyte. Des dizaines de lutins – 32, pour être précis – s'agitaient en tous sens, la masse de leurs bonnets rouges formant une marée de sang qui aurait fait fuir toute personne un tant soit peu avisée.

— Non mais c'est quoi ce bordel ‽

La voix de stentor avait jailli de l'entrée de la salle (une porte en coton !), avant de rebondir sur les parois dans un écho aux nuances encore plus grave que l'original. Aussitôt, le silence se fit dans l'assemblée, et chacun rejoignit sa place derrière l'une des 32 tables disponibles, chaque table étant équipée d'un réchaud basique. Le lutin qui venait d'hurler, assez âgé (près de 2 ans et demi) traversa la salle en jetant à chacun un regard mauvais, puis fit un demi-tour militaire avant de commencer à parler d'une voix claire et concise :

— Bon écoutez les gamins. Cela fait des dizaines d'années que les Ohms ne craignent plus nos farces ; nous nous sommes reproduits comme des termites, et nous avons été trop nombreux à les harceler. Le nombre appelle l'uniformité, et depuis quelques années nos « trucs » se bornent à faire crasher un PC au moment où son propriétaire va enregistrer le document Word, faire tomber la tartine côté Nutella où faire disparaitre les objets quand ils en ont besoin. Mais ce n'est pas drôle ! Ils croient simplement que c'est le destin, ils ont oubliés tous ce que nous leur avons appris au fil des millénaires. Le conseil a donc décidé l'année dernière de changer radicalement les règles. Finies les razzias en groupe, dorénavant nous n'enverrons qu'un lutin par an sur Tair. Celui que nous avons envoyé l'année dernière s'en est extrêmement bien sorti, il a réussi à faire plonger les cours des bourses mondiales et à accélérer la sortie de Seven. Nous ne pouvons que l'en féliciter… (un tonnerre d'applaudissment lui répondit). Il est maintenant temps de lui trouver un remplaçant ! Tous ici, vous avez été sélectionnés : vous êtes jeunes, vigoureux, inventifs et débrouillards ; bref, des lutins de l'ancien temps, avant que notre race commence à décliner… (des sourires de fiérté apparurent sur les faces assemblées devant l'homme, qui hurla soudainement : ) ET EN CONSÉQUENCE, VOUS ÊTES DANGEREUX ! Nous enverrons bien un lutin là haut (il fit un signe de doigt vers le plafond). Mais les autres… leur rendre la liberté serait dangereux – ne pouvant exercer vos talents sur les Ohms, vous sous rabbateriez sur vos congénères… ce qui n'est évidemment pas le but recherché.

Tous les sourires avaient laissés place à une mine angoissée et à des regards dans lesquels on lisait déjà la concurrence.

— Les perdants seront abattus sans aucune pitié. N'oubliez pas que tous les coups sont permis… et qu'à la fin, un seul d'entre vous restera (il laissa planer le silence quelques secondes avant de reprendre). Maintenant que vous avez compris, je pense que nous allons pouvoir commencer.

À l'arrière de la salle, les portes s'ouvrirent pour laisser le passage à quatre énormes chariots. Le premier contenait des petits récipients, le second des récipients presque deux fois plus volumineux. Le troisième chariot semblait rempli de différents sabliers, tandis que le dernier chariot débordait de poulets plumés.

— Vous allez tous récupérer un petit récipient (contenance : 3L), un grand récipient (contenance : 5L), un poulet et deux sabliers (de 3 et 5 minutes). Vous trouverez de l'eau au fond de la salle. Je vais vous demander de préparer le plat traditionnel lutin – au cas où certains ne le connaitraient pas, laissez-moi vous en rappeler la recette : « Dans exactement quatre litres d'eau, faire bouillir pendant exactement quatre minutes un poulet. Servir chaud ». Vous avez quinze minutes pour vous présenter devant moi avec un poulet cuit dans les règles de l'art. Oh, et bien évidemment, vos récipients ne sont pas gradués, vous aurez à vous débrouiller. (Il ajouta avec un sourire en coin : ) et n'hésitez pas à vous mouiller le pantalon !

En quelques secondes, tous étaient à l'ouvrage.

Solution n^o1

L'instructeur examinait attentivement chaque face, tentant de deviner lequel d'entre eux arriverait jusqu'au bout des épreuves. Accessoirement, il se demandait aussi combien allaient réussir cette première épreuve et franchir avec lui la porte de corail menant à la seconde salle et à la seconde épreuve.

Mentalement, il se repassa la marche à suivre.

• Pour les quatre litres d'eau.

  • D'abord, remplir le récipient de 5 L ($5-0$) ;
  • Transvaser une partie dans le 3L : il reste 2 L dans le grand récipient ($2-3$) ;
  • Vider les trois litres ($2-0$) ;
  • Passer les 2 L dans le récipient de 3 L ($0-2$) ;
  • Reremplir la cuve de 5 L ($5-2$) ;
  • Vider les 5 L dans le 3 L de façon à le complèter : il y avait déjà deux litres, il faut donc mettre un litre pour le remplir ; à ce moment là il reste quatre litres dans le grand récipient ($4-3$).

  Intérieurement, le vieux lutin sourit : c'était d'une facilité déconcertante, et il ne pensait pas qu'un lutin échouerait là dessus. En revanche, le problème des sabliers était légèrement plus problématique…

• Pour les quatre minutes.

  • Placer les quatre litres sur le feu, et attendre l'ébullition ;
  • Une fois l'ébullition atteinte, ne pas mettre le poulet directement. Lancer les deux sabliers en même temps ($5-3$) ;
  • Attendre la fin du second sablier ($2-0$) ;
  • Relancer immédiatement le sablier de trois minutes ($2-3$) ;
  • À la fin des 5 minutes, il reste une minute dans le second sablier. Placer le poulet dans l'eau bouillante ($0-1$) ;
  • Relancer le second sablier une fois qu'il est terminé (le premier n'a plus aucune utilité) ($0-3$).

Il reporta ses regards sur la salle. Comme il l'avait prévu, les coups bas pleuvaient : certains lutins cassaient le sablier de leurs voisins, laissant sans protection leur poulet qui était aussitôt volé. Il faut bien que jeunesse se fasse…

Au final, 4 lutins se retrouvèrent sans récipients et sans sabliers – l'un d'eux avait même réussi à se faire voler son réchaud ! Larmoyant et grinçant des dents, ils furent arrachés à leurs 28 compagnons. On ne devait plus les revoir…

Dis « Fraction »

Les 28 restants franchirent le porche de corail pour se retrouver dans une nouvelle salle arrangée comme une classe, avec 28 bureaux et une feuille retournée sur chacun. Forcés au sérieux par l'ambiance austère et le visage de leur instructeur, aucun lutin n'osa retourner sa feuille avant le coup d'envoi de l'examen. Ne pouvant distraire leur esprit d'une autre façon, ils laissèrent leurs regards s'attarder sur la salle. Légèrement plus petite que l'ancienne, elle avait la même disposition : une porte « derrière » (celle par laquelle ils étaient arrivés), et une porte « devant », constituée d'un seul bloc de pierre taillée.

Au coup d'envoi, toutes les copies furent retournées :
Épreuve limitée en temps – trois minutes.
Question 1 et unique : donner la valeur exacte de l'expression suivante (aucune démonstration demandée) :

$1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\cdots}}}}}} =$

Solution n^o2

Tinnabulum était souvent traité de cloche en logique, mais en mathématiques rien ne lui résistait. Au premier coup d'œil, il eut l'intuition exacte, au second coup d'œil il avait replacé l'équation sous une forme plus commune.

Il suffisait de poser :

$1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\cdots}}}}}} = \phi$

On peut alors simplifier en écrivant $1 + \frac{1}{\phi} = \phi$, puisque la fraction est infinie et que la partie en dessous est strictement égale à la partie du dessus. En multipliant par $\phi$ des deux côtés, on obtient $\phi + 1 = \phi^2$ ; le problème se résume alors à une équation du second degré : $\phi^2 - \phi - 1 = 0$. Même les Ohms savent résoudre cela : $\Delta = 1 + 4\times1\times1 = 5$, et les solutions sont $\phi_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ et $\phi_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$. La seconde solution est à écarter (elle est négative, notre fraction étant clairement positive). Il n'y a donc qu'une seule solution, $\phi=\phi_1$.
Confiant, Tinnabulum alla poser sa copie sur le bureau de l'examinateur, et sur un signe de tête positif, il passa la porte de béryl, se retrouvant dans un sas. Quoi qu'il y ait derrière, il était clair que le Conseil ne souhaitait pas que les lutins en soient au courant avant l'heure fixée.

---

Tamarre était doué, mais n'avait jamais apprécié les mathématiques bien trop formelles : il excellait dans la logique sans être capable d'expliquer à quelqu'un d'autre par quel raisonnement il arrivait au résultat. Pour lui, c'était juste direct ; et peu importe comment le résultat lui parvenait.
Le problème était que dans cette situation, rien ne s'affichait…
Il eut alors une idée : noter les termes successifs de la fraction, en s'approchant le plus possible de la fraction infinie. Il finirait bien par voir vers quoi la suite convergeait !
Aussitôt dit, aussitôt fait. Le premier terme était direct : $1 + \frac11 = 2 = \frac21$, second terme $1+\frac{1}{1+\frac11} = \frac32$, troisième terme $1 + \frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac11}} = \frac53$, quatrième terme : $\frac85$, et cinquième terme pour la forme : $\frac{13}{8}$.
La suite formée devait avoir une logique, mais laquelle ? Mettons les choses à plat : $\frac21$, $\frac32$, $\frac53$, $\frac85$, $\frac{13}{8}$, …
Ah ! Le numérateur de chaque fraction devenait le dénominateur de la fraction suivante, la suite devenait donc la suite des dénominateurs : $1,2,3,5,8,13$.
Il avait déjà rencontré cette suite plusieurs fois dans sa jeunesse : elle était connue sous le nom de suite de Fibonacci : chaque terme étant la somme des deux précédents ($1+2=3$, $2+3=5$, $3+5=8$, …). Et l'une de ses propriétés est que le quotient de ses termes tend vers le nombre d'or $\phi$⁽¹⁾ ! Problème résolu pour Tamarre, donc.

Dé-ment-élement

Devant Tinnabulum, la porte du sas s'ouvrit. Au moment où il entrait dans la nouvelle salle, le sas se referma derrière lui : pour cette énigme, il serait seul.

Il faisait noir, et il faillit trébucher plusieurs fois sur les aspérités de la salle. Une voix métallique retentit : « Pour atteindre la prochaine étape, il va falloir trouver le bon chemin… trois portes, deux fausses. Pour les garder, un ogre (les cheveux du lutin se hérissèrent, l'aversion des ogres pour sa race était bien connue). Mais attention, pas n'importe quel ogre ! Cet ogre ment un jour sur deux, et dit la vérité le reste du temps. Tu peux lui poser une question… et une seule. Si tu te trompes de porte, il te mangera avec de la vinaigrette – sans vinaigrette, le lutin a mauvais goût, c'est bien connu. Bonne chance… »

Les échos d'un rire sadique rebondirent sur la roche, tandis que la lumière se faisait et que la pièce s'éclairait, révélant à Tinnabulum les trois portes de Porphyre et – gloups – l'ogre de trois mètres de haut, habillé d'un pagne rouge.

Notre héros fut soudain frappé d'une pensée : la voix ne lui avait pas dit si l'ogre disait la vérité ou s'il mentait aujourd'hui. Quelle galère !

Solution n^o3

Bizarrement, la perspective de finir en vinaigrette suffit à motiver le lutin. En quelques secondes, son cerveau mobilisait toutes les réserves de sucre pour réfléchir ; ce serait toujours ça que l'ogre n'aurait pas dans le pire des cas !

Électrisé par l'adrénaline, il se souvint d'une affaire similaire rencontrée quand il était jeune : deux gardes (un qui ment et un qui dit la vérité) pour deux portes (une bonne et une mauvaise), et une seule question. L'astuce consistait à faire intervenir dans le raisonnement de l'ogre interrogé la pensée de l'autre ogre, en demandant « Si je demandais à l'autre garde quelle est la bonne porte, que me montrerait-t-il ? ».

• S'il s'agissait du menteur, il sait que l'autre dira la vérité et montrera la bonne porte, devant mentir, il inversera donc et montrera la mauvaise porte ($VRAI \times FAUX = FAUX$) ;
• S'il s'agissait du garde souffrant d'honnêteté radicale, il sait que l'autre ment et montrera la mauvaise porte, il renverra donc directement l'information ($FAUX \times VRAI = FAUX$).

Dans les deux cas, la porte désignée est la mauvaise ; il suffit alors de prendre la porte inverse pour s'en sortir sans problème.

Ici, il n'y avait pas deux gardes, mais un seul. Pas de problème ! Il suffit d'adapter la question : « si je t'avais demandé hier quelle est la bonne porte, qu'aurais-tu-dit ? ».

En revanche, il y avait trois portes… ce qui compliquait légérement l'affaire : en lui posant la question, il montrerait une porte (forcément une fausse), mais il resterait encore une chance sur deux de se planter. Et pas question de jouer son année sur Tair au hasard !

Voyons voir… il montrait une mauvaise porte, mais cette fois l'information ne suffisait pas. En terme de logique, il aurait fallu forcer l'ogre à inverser sa réponse… sémantiquement, cela signifiait donc mettre une négation dans la question : « si je t'avais demandé hier quelle n'est pas la bonne porte, qu'aurais-tu dit ? ».

Autrement dit :

• L'ogre est dans son jour où il ment, il sait que l'autre montrera une mauvaise porte. Il montrera donc la bonne porte… ah non, il se peut qu'il montre l'autre mauvaise porte !

Tinnabulum réfléchit. Pourtant, son raisonnement semblait juste : mathématiquement, il fallait appliquer la contraposée ($\neg$). Et d'un point de vue linguistique, cela se traduisait bien par une négation ! Quelques secondes de réflexion supplémentaires – histoire de terminer les réserves de sucre, et l'illumination lui vient : c'était sa négation qui n'était pas bonne ! Il ne fallait pas la placer en première partie de phrase, mais en deuxième : « si je t'avais demandé hier quelle est la bonne porte, que n'aurais-tu pas dit ? »

• Si l'ogre est en période menteur, il sait qu'hier il aurait montré une des deux mauvaises portes. Pour mentir, il est donc contraint de désigner la bonne porte ;
• Si l'ogre est en période vérité, il sait qu'hier il aurait montré une des deux mauvaises portes. Pour dire la vérité, il donnera donc la bonne porte cette fois aussi.

Aussitôt dit, aussitôt fait : l'ogre désigna la porte du milieu, que le lutin s'empressa de franchir. Derrière lui, le sas s'ouvrit, livrant passage à un nouveau lutin qui allait affronter la même énigme.

Di « ophante »

L'instructeur était content, tout se déroulait comme prévu. Sur les 28 lutins restants à la fin de la première épreuve, un avait échoué sur l'énigme de la fraction infinie, et deux n'avaient pas su répondre à l'ogre. Il pensa sarcastiquement que l'année prochaine, il feraient bien d'accrocher un petit panneau « Don't feed the Troll » – cela rendrait l'énigme beaucoup plus drôle.

Les 25 candidats encore en lice s'étaient tous placés derrière un bureau ; encore une fois la pièce contenait exactement 25 bureaux, comme si le service d'ameublement savait déjà combien de lutins échoueraient à chaque test. Contrairement à la première pièce, l'ambiance était calme, le silence presque religieux. La possiblité d'échouer si près du but suffisait à calmer même les plus agités, et l'instructeur n'eut donc pas à hausser la voix pour annoncer les conditions de cette nouvelle épreuve.

— Messieurs… et mesdemoiselles. Vous connaissez tous la maxime « Connais ton ennemi » ; elle est à la base de toutes les stratégies de harcèlement. Elle permet de frapper là où cela fera vraiment mal, et de se prémunir de retombées facheuses. Aujourd'hui, nous allons donc examiner la logique des Ohms ; et plus particulièrement d'une de leurs peuplade primitive, les Grayks.

Sur un signe de l'instructeur, les portes de Porphyre s'ouvrirent à nouveau, livrant passage à l'ogre – frissons dans la salle – qui transportait une immense pierre tombale.

— Merci Péage. Voici l'épitaphe d'un Grayk célèbre, nommé Diophante. Nous l'avons emprunté à ses propriétaires légitimes. La question sera donc : Quel est l'âge du capitaine ?

Derrière, l'ogre Péage s'affairait à mettre debout la pierre afin que chacun puisse lire l'inscription :

Passant, recueille-toi sur la tombe de Diophante, lui qui resta enfant pour le sixième de sa vie !
Après un autre douzième, ses joues se couvrirent de barbe, après un septième il alluma le flambeau du mariage.
Cinq ans après lui naquit un fils, qui mourut jeune : il n'avait vécu que la moitié des années que son père a contemplées.
Diophante vécut encore quatre ans, adoucissant sa peine et sa douleur par des recherches sur la beauté des nombres.

Solution n^o4

Encore une fois, Tinnabulum se retrouva dans son domaine : les mathématiques pures !
Habitué aux équations, il posa $v$ le nombre d'années vécues par Diophante.
Ensuite, il se chargea de convertir le problème en termes mathématiques :

• Le sixième de sa vie (l'enfance), c'est $\frac16 \times v$, soit $\frac{v}{6}$ ;
• Le douzième de sa vie (l'adolescence), c'est $\frac{v}{12}$ : il faudra bien entendu additionner cela avec la première étape pour obtenir l'âge « où ses joues se couvrirent de barbe » ;
• Idem pour le septième (le mariage) : $\frac{v}{7}$ ;
• « Cinq ans après » : cette fois, ce n'est pas relatif à la vie de Diophante, il s'agit juste de $5$ !
• Le fils n'a vécu que la moitié des années de son père, soit $\frac{v}{2}$ : c'est peut être la partie la plus complexe, mais il faut bien comprendre que la vie du fils commence au moment de sa naissance (donc après le sixième, septième et les cinq ans de Diophante), puis qu'après la vie du fils se déroule dans le même référentiel que le père ; donc $\frac{v}{2}$.
• Enfin, il faut rajouter quatre ans : $4$.

En sommant toutes les parties, on obtient :

$\frac{v}{6} + \frac{v}{7} + 5 + \frac{v}{2} + 4 = v$

Tinnabulum fit bien attention à ne pas oublier la fin de l'équation : par définition, l'ensemble de ces données correspond à toute la vie de Diophante !
Une fois cela posé, il suffit de tout mettre sur le même dénominateur et de porter tous les $v$ d'un côté :

$9 = v - \frac{25v}{28} = \frac{3v}{28} \Rightarrow 9 \times \frac{28}{3} = v = 84$

---

Tamarre n'avait aucune envie de passer par des équations, aussi se borna-t-il à supposer que l'âge de Diophante était un nombre entier (Tinnabulum aurait dit : $v \in \mathbb{N}$). Ce qui signifiait donc que le septième de la vie, le douzième, le sixième et la moitié formait des nombres entiers – toujours en gardant le postulat que l'énigme n'est pas méchante. Comme six et deux font douze, il y a redondance d'informations, et il suffit de trouver un multiple de 7 et de 12 ; au hasard $7 \times 12 = 84$ qui correspond bien à une durée de vie « standard » chez les Ohms.

Leur faire porter le chapeau ?

En passant la porte d'Émeraude, les 24 lutins restants eurent la surprise de retrouver l'ogre Péage, qui gardait une porte de Vermeil.

L'instructeur leur expliqua la situation :

— Nous allons placer sur votre tête des bonnets, qui seront blancs ou noirs. Vous n'aurez bien évidemment aucun moyen de savoir quelle couleur vous avez… et n'essayez même pas de demander à vos camarades. D'abord, parce que si vous êtes pris, vous êtes disqualifiés. Et ensuite, parce que rien ne vous dit qu'on vous répondra la vérité : je vous rappelle qu'il s'agit d'un match à mort… À tour de rôle et à la queue leu leu, vous vous présenterez devant Péage, et vous devrez dire la couleur que vous pensez avoir sur la tête. Si vous avez faux, vous finissez en vinaigrette !

À ces mots l'ogre ne se sent pas de joie, et court dans la pièce d'à côté pour chercher sa vinaigrette.

L'instructeur reprit la parole :

— Si j'étais vous, je me concerterais afin de réduire au maximum le nombre de morts… bien entendu, on ne vous mettra les bonnets qu'une fois qu'il sera revenu ! Mais vous pourrez voir les bonnets des autres, sans pour autant voir le vôtre. Je vous laisse déterminer la meilleure stratégie…

Solution n^o5

La discussion fut mouvementée. Si aucune stratégie n'était adoptée, le taux de survie serait statistiquement de un sur deux ; chaque lutin disant au hasard une couleur.

Après quelques échanges, une seconde solution apparut : le premier lutin dirait la couleur de chapeau du second lutin, il aurait donc une chance sur deux d'avoir raison. Le second lutin en revanche aurait forcément raison ; le troisième ferait de même que le premier. Au final, un lutin sur deux est forcément sauvé, et les autres ont une chance sur deux de s'en sortir, soit trois chances sur quatre de s'en sortir.

Tamarre réfléchit : la dernière solution envisagée était bonne mais pas parfaite. En y réfléchissant, le premier lutin ne donnait des informations qu'au second, alors que l'idéal serait que l'information qu'il donne serve à tout le monde. Malheureusement, il ne pouvait s'exprimer que par « noir » ou « blanc », ce qui limitait…

Tinnabulum avait suivi le même raisonnement que Tamarre, mais l'avait amélioré : il cherchait une fonction mathématique à deux états de sortie qui pourrait les aider. En quelques secondes, il avait identifié la fonction modulo (le reste de la division euclidienne), et réfléchissait déjà à la marche à suivre.

Le premier lutin compterait le nombre de bonnets blancs : si c'était un nombre pair, il annoncerait « blanc », sinon « noir ». Il aura ensuite une chance sur deux d'avoir annoncé la bonne couleur et de ne pas se faire manger. Pour l'exemple, considérons qu'il ait dit « blanc » – nombre pair de bonnets blancs.
Le second lutin se présentera alors, et comptera le nombre de bonnets blancs. Si c'est un nombre pair, il en déduira qu'il a un chapeau noir, puisque le premier lutin avait aussi vu un nombre pair de chapeaux blancs. Si c'est un nombre impair, il annoncera « blanc », et tous les lutins assemblés retiendront que le nombre de chapeaux
blancs est maintenant impair (il faut décompter le bonnet qui vient de partir).
Et ainsi de suite…

En quelques secondes, il avait mis tout le monde au courant de sa stratégie, et instauré le code « pair = blanc, impair = noir » pour le premier.

Quand l'ogre revient, la ligne se constitua avec quelques remoux, personne ne souhaitant la première place – la seule dangereuse. L'instructeur fut obligé de tirer un lutin au sort pour le placer en premier…

Ledit lutin regarda derrière lui, et compta 12 chapeaux blancs. Puis annonca « noir ». Chacun pour sa peau, qu'ils avaient dit…

Si simple…

Il faut croire que la chance était avec les lutins, car seuls 4 périrent. Leur mort lente et douloureuse fut un exemple pour tous, et intérieurement tous faisaient le même calcul : « plus que vingt ! ».
Pour la forme, notons que quand le deuxième lutin annonça une mauvaise couleur, tous comprirent que le premier lutin leur avait menti. Mais dans le climat de suspicion qui régnait, il était absolument impossible de tirer des conclusions, chaque lutin n'en faisant potentiellement qu'à sa tête.

La nouvelle salle était organisée en salle de classe, et les lutins prirent place derrière un bureau – ils finissaient par avoir l'habitude. Encore une fois, ils retournèrent tous leurs feuilles… une simple suite de nombres :

La question était courte elle aussi : $2581 = ?$
Tout en bas de la feuille se trouvait un petit texte, écrit en tout petit : « Oubliez tout ».

Solution n^o6

Tinnabulum – le mathématicien – se sentit aussitôt dans son élément. Des chiffres, c'était la chose qu'il comprenait le mieux ! Rapidement, il chercha des relations entre chaque nombre, chiffre, solution…

Après plusieurs minutes, il dut se rendre à l'évidence : aucune logique ne transparaissait dans cette suite. Les 0 étaient souvent présents, mais sans lien apparent avec les nombres à droite. Petit à petit, la sueur s'accumula sous le front du lutin, et il fut obligé de se servir de son bonnet comme éponge pour sécher la transpiration qui commençait à dégouliner. L'échec n'était pas envisageable, pas maintenant, pas si proche…

---

Tamarre avait lui aussi des difficultés. Inconsciemment, la présence de chiffres et l'alternance des énigmes logiques / mathématiques lui fermait l'esprit et le poussait à réfléchir dans le cadre « strict » des mathématiques ; son esprit se focalisait sur les chiffres en tant qu'entités mathématiques.

Finalement, il se reconcentra. La petite note disait de tout oublier ; cela signifiait-il que l'on devait penser aux nombres, non plus comme représentants d'une idée abstraite, mais comme un trait sur le papier ? L'idée avait le mérite d'être originale, et il suffisait de la tester pour la valider !
$8809$ est 6, soit. Si l'on oublie que $8$ « code » pour huit, on remarque qu'il s'agit simplement de deux ronds placés l'un sur l'autre. Idem pour le second $8$. Le $0$ est une grande boucle, et le $9$ a une boucle fermée. Soit $6$ ronds. En revanche, pour $7111$, aucune boucle : $0$. De même pour $1111$ : 0 boucles, et 0 en résultat. $8193$ ? Deux boucles sur le 8, une sur le 9 : trois boucles au total !
Après avoir validé sa théorie sur chacun des nombres, Tamarre marqua $2$ en face du dernier nombre. Pour une fois, il était fier de lui ; il avait su raisonner différemment.

En apesanteur

Comme pour la troisième énigme, les portes de crêpe amenaient à un sas qui forçait les lutins à n'accéder à la pièce suivante qu'un par un. Les discussions s'étaient tues, et le temps s'écoulait uniquement au rythme de l'ouverture et de la fermeture du sas. Tous sentaient qu'ils approchaient de la fin, et même s'ils étaient encore nombreux, les dernières énigmes avaient été très prenantes : relâcher sa concentration maintenant ne semblait une bonne idée à personne.

Lorsqu'enfin arriva le tour de Tinnabulum (qui avait failli échouer à la dernière épreuve, et se sentait plus que jamais d'attaque), il se retrouva dans une salle spéciale. Comme toutes les autres, elle était taillée dans la pierre… mais la gravité n'y avait pas lieu. En fait, il marchait actuellement sur les murs ! Passé l'impression de vertige, il se concentra et discerna au loin la porte qu'il devait atteindre. Il estima les distances, et traça mentalement le schéma que voici :

Au moment de bouger son premier pied, une voix retentit : « Tinnabulum, tu disposes d'exactement 30 minutes pour atteindre l'autre porte. Passé ce délai, la porte se refermera… et nous lâcherons Péage ! »

Instantanément, le lutin fit le calcul : dans cet environnement sans gravité, il courrait à 1 m/minute. Autrement dit, pour parcourir les 31 mètres, il lui faudrait… 31 minutes. Non ! Il n'allait quand même pas mourir comme ça ! La salle n'ayant aucune gravité, il n'avait pas la possibilité de sauter le mètre qui le séparait du sol, et il était obligé de courir sur toute la distance. Cependant, en quelques micro-secondes la solution s'imposa à lui – il pouvait s'en sortir.

Solution n^o7

Même si le chemin que Tinnabulum s'est tracé semble être le plus court, il devait y avoir moyen de faire mieux : le but était de sélectionner un lutin, pas de tous les exterminer ! À première vue, on ne peut pas faire mieux : on va en ligne droite jusqu'à l'arrivée. En ligne droite, vraiment ? En réalité, la ligne droite passe dans l'espace, et évite les « chemins inutiles » que l'on trouve sur le schéma : la descente pour rejoindre le « sol » et la montée pour passer l'« arrivée ».

Rapidement, on peut imaginer passer sur le côté : parcourir les 4,5 mètres, rejoindre la face de droite du schéma, et enfin les 4,5 derniers mètres en se décalant de façon régulière vers le haut. En appliquant Pythagore, on peut cependant voir que ce n'est pas une bonne solution : sur l'axe « horizontal » on traverse $4.5 + 22 + 4.5 = 31$, et $7$ mètres sur la « verticale », ce qui donne une hypoténuse de $\sqrt{31^2+7^2} \approx 31.78$ : encore plus long que le chemin initial !

Cependant l'idée de passer par le côté n'est pas mauvaise. Le problème est que notre cerveau a du mal à considérer le problème en 3D, et se focalise sur la pensée « ligne droite = plus court ». L'astuce va donc consister à poser le problème à plat en dessinant le patron de la pièce. Précisons cependant que plusieurs patrons sont possibles, et qu'il va falloir en tracer plusieurs avant de trouver le bon.

Si on prend ce patron et que l'on trace une ligne droite entre départ et arrivée, on obtient cela :

Encore un petit coup de Pythagore : la distance parcourue sera cette fois de $\sqrt{(1+22+1)^2+(4.5+9+4.5)^2} = 30$. Et il n'y a même pas besoin d'arrondir ! En repliant le patron, on obtient cependant un parcours pour le moins original et difficile à imaginer si l'on avait conservé le raisonnement 3D⁽²⁾.

Échec et maths

La nouvelle salle était organisée en salle de classe, et les lutins prirent place derrière un bureau – ils finissaient par avoir l'habitude.

L'instructeur s'adressa à eux :
— On raconte qu'au pays des Ohms, l'inventeur du jeu d'échecs fut récompensé par un sultan. Il demanda qu'on place sur la première case de l'échiquier un grain de blé, deux sur la deuxième case, 4 sur la troisième, 8 sur la quatrième, ad lib. jusqu'à la 64^ème case. Le sultan accepta sans discuter, et pourtant… vous aurez tous compris que ce n'est pas une bonne idée. Afin de corser ce problème, je vais donc vous demander de me donner trois chiffres :

• Combien de grains de blés au total ?
• Si l'inventeur avait demandé un grain de blé pour la case 1, deux pour la case 2, trois pour la case 3, … combien aurait-il fallu de grains de blés ?
• Si l'inventeur avait demandé de multiplier à chaque case (1 grain pour la case 1, $1\times2$ pour la case 2, $1\times2\times3$ pour la case 3), combien aurait-il fallu de grains de blés ?

Solution n^o8

Tinnabulum fonca tête baissée :

• Dans le premier cas, le nombre de grains de blé augmentait de façon exponentielle ; $2^0$ sur la première case, $2^1$ sur la deuxième, etc.
  Il fallait donc réaliser la somme des puissance de deux jusqu'à 63 (il y a 64 cases, mais on commence à 0) : $2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{63}$.
  De façon plus mathématique, il écrivit $\sum_{i=0}^{63} 2^i$. Comment calculer cela ? Il suffisait de connaitre la formule $\sum_{i=0}^n 2^i = 2^{n+1}-1$ (assez intuitive d'ailleurs), et de l'appliquer au cas $n=63$, on trouve alors $2^{64}-1= 18 446 744 073 709 551 615$ (le calcul ne pose pas de problème à un lutin).

• Dans le second cas, il fallait additionner tous les nombres : $1+2+3+4+\ldots+64$. Encore une fois, le calcul manuel peut être évité avec un minimum de réflexion…
  Il suffit d'imaginer les nombres disposés en forme de pyramide : un grains sur le premier étage, deux sur le deuxième, et 64 sur le dernier étage. Ensuite, on fait en sorte d'avoir des tas de 64 grains : le grain du premier étage se retrouve donc avec ceux du 63^ème étage, celui du second étage avec le 62^ème… au final, on a constitué exactement 33 tas (deux tas conjugués forment un tas de 64 grains donnant 32 tas, auquel il faut ajouter le tas initial de 64 grains), chaque tas ayant le même contenu : 64 grains. Il ne reste plus qu'à faire la multiplication : $33\times64=2080$⁽³⁾.

• La dernière énigme était un piège imbriqué : il ne fallait pas se contenter de calculer le produit, il fallair réaliser la somme des produits. Mathématiquement, cela se traduisait par la peu accueillante expression $\sum_{i=1}^{64} \prod_{j=1}^i j = \sum_{i=1}^{64} i! \approx 1.29\times 10^{62}$.

Comme à la parade

— Bien ! Bien. Messieurs, vous progressez… vous êtes de moins en moins nombreux, de plus en plus expérimentés. Les humains n'ont qu'à bien se tenir…

Les lutins avaient finis par comprendre la méthode de l'instructeur, et aucun ne sourit : leur chef maniait avec brio la technique du chaud et froid, et s'il les acclamait maintenant, c'était pour mieux les rabattre juste après. Ce qui ne manqua d'ailleurs pas :
— Mais vous êtes bien trop nombreux ! Nous n'avons pas des années à perdre, et nous avons donc décidé de réduire drastiquement nos effectifs. Autrement dit, il vous reste cette salle et la salle suivante pour vous débarasser des autres prétendants…

De son point de vue, l'instructeur avait tout réussi. D'une bande de joyeux lurons immatures, il avait fait ce groupe qui ne souriait plus. Les blasés étaient les personnes les plus dangereuses qu'ils pouvaient envoyer, car ils ne reculaient devant rien, dénués de tout état de conscience. Intérieurement, il jubilait : tout s'était déroulé comme prévu, les échecs avaient été répartis exactement selon leurs plans, et les réussites avaient toujours été teintées d'un arrière goût de souffrance et de compassion pour ceux qui échouaient.

À l'autre bout de la pièce, Péage fit son apparition. Les lutins ne sortirent pas de leur transe apathique – périr mangé par un troll ou assassiné par ses congénères, le choix n'était ni joyeux ni facile. Cependant, un évènement déclencha une levée de sourcils : l'ogre prit la parole, et ce fut lui qui expliqua les termes de cette énigme ; dans un langage certes basique, mais compréhensible.

— Moi donner vous bonnets. Bonnets être blanc ou noir. Vous pas savoir quelle couleur avez, et pas droit parler. Un par un, faire ligne couleur. Si un seul faux, moi manger tout le monde…

Traduit en bon lutin, cela donnait quelque chose comme « je vais vous donner des bonnets, et encore une fois vous n'aurez aucun moyen de savoir la couleur que vous avez puisque les échanges verbaux et physiques seront interdits. Le défi consistant à former deux lignes devant moi, une constituée de bonnets blancs, et une ligne noire. Vous vous présenterez un par un pour éviter la cohue, et une fois placés vous aurez interdiction totale de bouger… ».

Solution n^o9

Rapidement, les lutins se placèrent les uns à la suite des autres. Contrairement à la dernière fois, la première place fut âprement disputée : le premier n'aurait pas à réfléchir, et il lui suffirait de former une tête de colonne. Quand la cohue se fut dissipée, deux lutins restèrent à terre – le coup du lutin ? qui sait !

Et voilà donc le premier (qui porte un couvre chef noir) qui s'avance sans se poser de questions. Le second hésite quelques secondes, avant d'aller former une nouvelle ligne – à dieu vat ! Il ne le sait pas, mais lui aussi porte un bonnet noir. L'ogre arbore un immense sourire ; il va enfin pouvoir manger [je vous vois venir d'ici et je réponds donc tout de suite : non, le lutin ne peut pas changer de décision parce que l'ogre a eu un sourire ironique. Et ce n'est pas négociable. Na] !

Le troisième lutin se retrouve donc face à un dilemne : à gauche, une file noire. De l'autre, une autre file noire… comment sortir de ce guet-apens ? Il fallait tourner le problème dans tous les sens… et le tourner au sens propre. Ne dit-on pas que « deux points sont toujours alignés » ? Il y avait deux bonnets noirs pour l'instant : $\blacktriangle \blacktriangle$. Si on considérait que les files seraient nont pas verticales, comme on aurait pu en avoir l'intuition, mais horizontales, il suffisait qu'il se mette à droite du second lutin : quelle que soit la couleur de son bonnet, il serait bien placé :

• Si son bonnet est noir : les trois lutins forment alors une file de trois bonnets noirs : $\blacktriangle \blacktriangle \blacktriangle$.
• Si son bonnet est blanc : les trois lutins forment alors deux files, une composée de deux bonnets noirs, et l'autre d'un unique bonnet blanc : $\blacktriangle \blacktriangle \vartriangle$.

S'il a un bonnet noir, le prochain lutin (qui lui, sait la couleur du troisième lutin puisque chaque lutin connait la couleur de tout le monde sauf la sienne) n'a qu'à réappliquer le même raisonnement en se placant en bout de ligne. Supposons cependant pour l'interêt de la démonstration que lutin n^o3 soit affublé d'un bonnet blanc (cas $\blacktriangle \blacktriangle \vartriangle$). Le quatrième lutin n'aura qu'à s'intercaler entre les deux files (donc entre bonnet noir n^o2 et bonnet blanc n^o1) : quelle que soit la couleur de son chapeau, les deux lignes seront correctes. Et ainsi de suite, chaque lutin se positionnant sur la limite entre les deux files ($\blacktriangle \blacktriangle \blacktriangle \uparrow \vartriangle$). Quand le dernier lutin se place, les deux ensembles de couleurs sont parfaitement séparés, et l'ogre peut – encore une fois – ranger sa vinaigrette. Mais ce n'est que partie remise, puisque faut-il le répéter, à la fin il n'en restera plus qu'un…

Qui a tué le duc de Densmore ?

— Bien… bien. Il est maintenant temps de conclure cette expérience. Encore une épreuve, et nous pourrons envoyer sur Tair notre lutin le plus facétieux. Cependant, la dernière épreuve s'avérera éprouvante… et pour éviter des défaillances, nous avons décidé de vous offrir quelques journées de repos dans un hôtel de luxe. Pour sept d'entre vous, ce sera vos dernières journées. Je vous souhaite à tous de bien vous reposer…

---

Quelques jours plus tard, nos lutins sont de retour dans la grotte qui s'est rétrécie au fur et à mesure des différentes pièces, et qui ne comporte plus maintenant qu'assez d'espace pour une dizaine de lutins et un ogre. L'instructeur reprend la parole, et pour une fois il n'a pas l'air très à l'aise.

— Je ne sais pas trop par où commencer… alors je vais être direct. Comme je vous le disais lors de notre première rencontre, vous avez été sélectionnées pour votre intuition. Et vous êtes dangereux… le but officiel de ce programme est d'envoyer un lutin sur Tair, mais officieusement nous cherchons simplement à éradiquer dans l'œuf tout possibilité de révolte en supprimant les individus intelligents à forte personnalité. Puisque nous sommes dans les confidences, sachez que Tair n'existe plus depuis de nombreuses années – un cataclysme l'a détruit. Chaque année, nous continuons cependant d'organiser ce concours, en premier lieu pour supprimer toute dissidence, mais aussi pour renouveler notre gouvernement qui a bien besoin de sang neuf. En injectant tous les ans dans la machine diplomatique un petit nouveau, nous sommes à même de maintenir une politique forte et innovante. Cela vous parait horrifiant ? Réflechissez-y cependant : si vous réussissez, vous n'avez pas à être parachuté dans un pays étranger et hostile ; vous continuez de travailler dans un environnement qui vous est adapté, et vous avez une place supérieure dans notre organisation. Vous commencez à comprendre que ce n'est pas un marché de dupes ? Vous, vous y êtes gagnants. Cependant, il vaut mieux que l'opinion publique ne soit pas au courant que nous massacrons ses meilleurs enfants ; d'où la raison officielle de ce « concours ».

Il reprit sa respiration, aucun lutin ne réagit : pour une fois, ils étaient réellement surpris.

— Vous vous demandez sûrement pourquoi je parle de tout cela. D'habitude, je ne dévoile cela que quand il n'en reste plus qu'un afin de ne prendre aucun risque – conscience professionnelle. Mais cette année, nous sommes placés face à un dilemne. Pendant notre séjour à l'hôtel, le premier jour, l'un de vous s'est introduit dans ma chambre en mon absence pour voler le dossier contenant la liste des énigmes. Plus important encore, il est aussi allé chez Péage pour récupérer la solution de ces énigmes. Autrement dit, si nous ne faisons rien, c'est un tricheur qui triomphera ! Cela parait peut-être normal si l'on comptait aller sur Tair pour faire des tours pendables – gamins ! – mais vous comprendrez que notre gouvernement ne peut tolérer une telle ingérence dans ses affaires internes. Si vous êtes embauchés, vous ferez ce qu'on vous dit de faire ; et vous n'irez pas voler un dossier confidentiel. Nous avons donc décidé de remplacer la dixième énigme par un cluedo géant : le premier qui trouvera le coupable aura la place. Les autres… qui s'en soucie ?

Commenca alors une longue audition, pendant laquelle chaque lutin ramena à ses souvenirs le premier jour de repos (le jour pendant lequel la consultation des documents avait eu lieu) : le but étant de se souvenir qui avait eu des contacts avec qui. À la fin des entretiens, aucun lutin n'avait craqué et avoué qu'il était le coupable ; en revanche l'instructeur tenait une liste des contacts entre les lutins dans le salon (pièce adjointe à la chambre de l'ogre et de l'instructeur).

— Je suis content de voir qu'aucun lutin n'a menti et que chaque relation a bien été réciproque (ce n'est pas marqué dans la liste, mais si 1 a vu 2, 2 a aussi dit avoir vu 1). Mettons un peu d'ordre dans ce tas de chiffres, traçons les liens entre chacun de vous (cf. schéma).

— Parfait ! Eh bien monsieur, en supposant que personne ne nous a menti directement – ce qui parait une hypothèse raisonnable puisque chaque affirmation a été réciproque –, et en sachant que personne n'a quitté l'hôtel, pourriez-vous me donner le nom du coupable ? Je vous laisse quelques minutes… oh, j'allais oublier : l'accueil nous a confirmé qu'aucun lutin n'était venu plus d'une fois dans le salon. Ça n'a l'air de rien, et pourtant c'est important…

Note : pour résoudre cette énigme, il faut préciser que les lutins n'étaient pas tous logés au même endroit. L'instructeur et Péage partageaient une suite et le salon qui servait de lieu de rencontre, tandis que les lutins avaient été dispatchés dans différents hôtels de la ville. Le salon étant le lieu de rendez-vous, les lutins s'y sont rencontrés de temps en temps (d'où le graphe plus haut). Mettons de l'emphase sur l'accueil qui a affirmé qu'aucun lutin n'était entré plus d'une fois dans l'hôtel pour aller dans le salon.
Signalons aussi qu'il n'y a pas de pièges ou d'indices dissimulés dans les neuf énigmes précédentes : il s'agit de déduction pure et dure. Ajoutons aussi l'hypothèse qu'un seul lutin a fait le coup…

Solution n^o10

Pour le profane, il est difficile de concevoir que l'on peut résoudre une telle affaire avec un simple graphe. Et pourtant !

Analysons par exemple la boucle formée par 4, 5, 7 et 8 : un simple carré. Si on analyse finement ce graphique, on peut découvrir qu'il y a forcément quelqu'un qui s'est absenté parmi ces quatre personnes.
Imaginons par exemple que 4 soit dans le salon dès le début. De deux choses l'une : soit 5 entre ensuite, soit 8 ; mais pas les deux en même temps puisque 5 n'a pas vu 8.

1. Premier cas : 5 entre et rejoint 4.
   4 est ensuite parti et 7 est rentré (5 et 7 se sont vus, mais pas 4 et 7). 5 est sorti, 8 est rentré (contact entre 7 et 8). Il reste une liaison à effectuer pour boucler la boucle : 4 et 8. Or 4 est sorti auparavant (et on sait qu'aucun lutin n'a fait plus d'un aller retour dans le salon le premier jour) : il y a donc eu une absence pendant laquelle il a pu avoir l'occasion d'effectuer son méfait.

2. Deuxième cas : 8 entre et rejoint 4 tout au début.
   Cela revient au cas précédent : 8 voit 7 qui ne voit pas 4, donc 4 a dû s'absenter à un moment du salon avant de revenir.

Peut-on pour autant en déduire que 4 est coupable ? Non, car ce raisonnement s'applique pour 4,5, 7 et 8 : tout dépend de celui qui est là le premier. Comme nous n'avons pas d'information d'ordres, retenons simplement que le coupable appartient à l'ensemble $\{4,5,7,8\}$.

On peut réduire cette liste de coupable en remarquant que cette disposition « en carré » s'applique aussi dans la boucle $5-6-7-8$ (même raisonnement). Les coupables potentiels sont donc à l'intersection de ces deux groupes (puisqu'on suppose qu'il n'y a qu'un seul coupable, il fait forcément partie des deux configurations) : $\{4,5,7,8\} \bigcap \{5,6,7,8\} = \{5,7,8\}$.

Pour terminer, il va falloir identifier une nouvelle « boucle impossible ». Après quelques tâtonnements, on s'aperçoit que le graphe formé par $\{5,1,2,3,4,6\}$ est lui aussi impossible. Le raisonnement est similaire : si 5 était là en premier, il y a vu 1 et 2. 5 et 1 sont ensuite sortis, et 2 a pu rencontrer 3 et 4. Cependant, 6 et 4 ont vus 5 : il faut donc que celui-ci se soit absenté pour aller dans la chambre voler le document. Encore une fois, le premier présent a pu dérober le document.

Il ne reste plus qu'à déterminer l'intersection de tous ces coupables potentiels :

$\{4,5,7,8\} \bigcap \{5,6,7,8\} \bigcap \{5,1,2,3,4,6\} = \{5\}$

En quelques secondes, Péage posa son énorme main sur le pauvre lutin n^o5 qui venait d'être prouvé coupable et qui frissonnait déjà, puis le lança contre la dixième porte d'albâtre, qui s'entrouvrit devant lui. Rapidement, il fut absorbé dans un immense tourbillon. Avant que les lutins restants n'aient eu le temps de réagir, les portes 9 (en Palissandre) et 10 se refermèrent.

L'ogre allait – enfin – pouvoir manger.

Remerciements et références

• Péage est un petit clin d'œil à Reflets d'Acide, superbe saga sur le net.
• Le nombre décroissant de lutins a une explication, à vous de chercher laquelle. Pour rappel : $32, 28, 27, 25, 24, 20, 16, 14, 10, 8, 1$.
• Tinnabulum et Tamarre ne sont pas des noms choisis au hasard, une petite refléxion ?
• Les matériaux dont sont constitués les portes référencent une autre cérémonie de passage, à vous de trouver laquelle.
• Merci à Xunor, à qui j'ai emprunté l'image pour l'énigme de l'araignée.
• Merci à Claude Berge pour son roman « Qui a tué le duc de Densmore » dont je me suis inspiré pour la dernière énigme. Merci aussi à un vieux SVJ pour le remix sympathique.
• Le texte est mis en forme avec le Typographe, outil d'aide à l'édition et à la présentation de textes typographiquements corrects.

---

1. ⁽¹⁾ ↑ D'ailleurs, cette double explication peut aussi servir de démonstration : la première partie montre que la fraction tend vers $\phi$, la seconde partie montre que la fraction peut être décomposée comme quotient de termes consécutifs de la suite de Fibonacci. Bien entendu, il faudrait rajouter un peu de rigueur à la seconde démonstration, qui reste très empirique en l'état.
2. ⁽²⁾ ↑ Notons tout de même que dans la réalité, suivre une telle direction ne sera pas facile pour le lutin. Il arrive que la fiction dépasse la fiction..
3. ⁽³⁾ ↑ La formule peut être généralisée avec tout $n$ pair : on crée $\frac{n}{2}$ tas de $n$ grains, auquel on ajoute $n$ pour le tas « du bas » : $n \times \frac{n}{2} + n = \frac{n(n+1)}{2}$. Le raisonnement est quasi-similaire dans le cas impair.

Mis en forme avec le Typographe

Auteur

Neamar

Date

Nov. 2008

But

Divertissement

Analyse

Notes de l'auteur

Menu

Index des ressources